|
Situation problème. Je suis( le point A ) à 3 m du pied d'un poteau ( le point B) dont je ne connais pas la hauteur (BC ) et je dois tendre un câble entre A et C. Par contre j'arrive à mesurer l'angle = 30°.
Combien doit mesurer le câble AC ?
|
Commençons par du vocabulaire
|
B |
|
A |
|
C |
|
HYPOTENUSE |
|
Côté adjacent à l’angle |
|
Côté opposé à l’angle
|
I Vocabulaire
Exercice: Mets une croix dans chaque(s) bonne(s) réponse(s)
|
Dans le triangle EFG rectangle en F,
|
[EG] est |
[FG] est |
[FE] est |
|
L'hypoténuse |
|
|
|
|
Le côté adjacent à |
|
|
|
|
Le côté opposé à |
|
|
|
|
Le côté adjacent à |
|
|
|
|
Le côté opposé à |
|
|
|
Maintenant, observons, appliquons et rappelons-nous :
Les triangles ABC et ADE ont 2 angles communs ( donc 3 ), ils sont donc semblables.
Alors leurs côtés sont proportionnels. Si on note k le coefficient de proportionnalité.
On a AD = k x AB, AE = k x AC et DE = k x BC et alors = = .
Le résultat de la division de la longueur du côté adjacent à l'angle 30° divisé par la longueur de l'hypoténuse ne dépend pas de la longueur des côtés mais uniquement de la mesure de l'angle 30°.
Ainsi le résultat de cette division pourra être utiliser dans n'importe quel triangle rectangle ayant un angle de 30°.
II Définitions
1) Cosinus d'un angle aigu
On dit que le quotient de la longueur du côté adjacent à l'angle divisé par la longueur de l'hypoténuse s'appelle le cosinus de l'angle et on écrit
Dans un triangle ABC rectangle en A, le cosinus de l’angle est :
cos = =
On peut faire alors de même avec 2 autres quotients
2) Sinus d'un angle aigu
On dit que le quotient de la longueur du côté opposé à l'angle divisé par la longueur de l'hypoténuse s'appelle le sinus de l' angle et on écrit
Dans un triangle ABC rectangle en A, le sinus de l’angle est :
sin = =
3) Tangente d'un angle aigu
On dit que le quotient de la longueur du côté opposé à l'angle divisé par la longueur du côté adjacent à l'angle s'appelle la tangente de l' angle et on écrit
Dans un triangle ABC rectangle en A, la tangente de l’angle est :
tan = Côté opposé à eq \o(\s\up6(\s\up6( EMBED Draw = .
Revenons à notre exemple et voici un extrait de la table des cosinus
Dans le triangle ABC rectangle en B, le cosinus de l’angle est
cos =
Et on sait que = 30°.
On a donc d'une part cos = cos 30° 0,86603 (d'après la table)
et d'autre part cos = = .
On a donc = 0,86603 et grâce au produit en croix AC = 3,46 m. (calculatrice !)
En utilisant une autre table on peut même calculer BC !
Oui mais laquelle ?
Maintenant, considérons une situation problème légèrement différente
|
Lorsqu'une échelle à un seul plan est appuyée contre un mur, son angle d'inclinaison doit être compris entre 65° et 75°. Si l'échelle est trop inclinée, elle est susceptible de glisser. Et si à l'inverse elle ne l'est pas assez, vous courez le risque de basculer en arrière ! Dans les deux cas, la chute peut être douloureuse voire fatale ! Source: Marie-Claire Maison |
Mais, pratiquement sur un chantier, comment s'assurer que notre échelle forme bien un angle compris entre 65 ° et 75 ° ?
Même, comment, connaître la mesure d'un angle ?
On trouve donc des schémas donnant des astuces pour y arriver.
Sur quel(s) calcul(s) ces astuces reposent elles ? la Trigonométrie !
En effet, modélisons la situation grâce à un triangle rectangle.
Dans le triangle PES rectangle en E, on a tan =
donc tan = = 4.
Or , d'après la table des tangentes on lit
tan 75° 3,73147 et tan 76° 4, 01011.
Donc l'angle mesure environ 76°.
C'est cohérent pour une "astuce".
Avec la calculatrice on obtient évidemment la réponse mais la séquence machine est plus compliquée (mais incontournable).
Que pensez de cette autre astuce ?